統計検定2級の勉強をする話④

前回↓

defpediatric.hatenablog.com

今回は日本語で。

「時系列データ」の話。

時系列データの扱い

ある時刻 t → t+1 におけるyの変化を見る方法は

1. 差を見る(yt+1 - yt )
2. 変化率を見る((yt+1 - yt )/yt)

の二種類が基本的である。

指数化

ある時点sを基準点とし、

q_t = y_t/y_s

という指数の推移を見る方法。

西暦末尾0 or 5年の値の平均値を基準とすることが多い。

比で変化を見る方法

前期比は

r_t＝y_t/y_t-1

とすることができる。

平均の伸び率を計算する場合は算術平均ではなく幾何平均

\( \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times \ldots \times x_n} \)

を用いる。

変動分解

時系列データの時間的変動は以下の２種類に分けることができる。

• 傾向変動(TC)：長期に渡る動きを表す変動
• 季節変動(S)：1年を周期として循環を繰り返す変動
• 不規則変動( I )：上記以外の変動

つまりある時点tの時系列データに関して、

y_t=TC_t+S_t+I_t

と分解できる.

TCtの抽出

移動平均法(moving average method)

ある時点tとその前後±kの間の2k+1個の値に対して移動平均は

\[ \hat{TC}_t = \frac{1}{2k+1} \sum_{i=t-k}^{t+k} Y_i \]

で求められ、周期2k+1で循環する成分を除去できる。

*周期が偶数の場合はk+1とk-1時点の値を1/2にして無理やり奇数にして計算する。

Stの計算

傾向変動成分を引いた時系列データWは

W_t = y_t - TCt = S_t+I_t

で、季節変動と不規則変動を含んでいる。

月毎のWの平均を取り、月別の平均からW全体の平均を引く

自己相関

時刻tの時系列とtからhずらしたt+hの時系列の相関関係を考える。

この時相関係数r_hは自己共分散関数(autocovariance function)を用いて計算する。

自己共分散関数 (Autocovariance Function):

\[ \gamma(h) = \frac{1}{n} \sum_{t=1}^{n-h} (X_t - \bar{X})(X_{t+h} - \bar{X}) \]

自己相関係数 (Autocorrelation Function):

\[ \rho(h) = \frac{\gamma(h)}{\gamma(0)} \]

横軸にラグh、r_hを縦軸にしたグラフをコレログラムと言い、相関の強い周期を可視化できる。

本日はここまで。

数学の知識が足りなくて辛い。勉強しとけばよかった。